問題來自 Hong Kong R Usergroup 。對!竟然是有人 post 問題,雖然問問題的人我是認識的,要多謝她去撐場。問題是 mantelhaen.test (Mantel-Haenszal test) 如何解讀,主要解答部份是後續的分析。 用內建的 UCBAdmissions ,可以說明此類 k x 2 x 2 array 的問題。

UCBAdmissions 問題是經典的統計學問題,清楚說明何謂 Simpson's Paradox 。這 dataset 是柏克萊大學 73 年的入學統計,是男女申請人的取錄比率。

# Chainsaw Riot http://www.chainsawriot.com k22 problem
# pooled 2x2 table and pooled odds ratio
apply(UCBAdmissions, c(2, 1), sum)
fisher.test(apply(UCBAdmissions, c(2, 1), sum))

# stratum-specific odds ratio
apply(UCBAdmissions, 3, function(x) fisher.test(x)$estimate)
# stratum-specific admission rate and gender prevalence
apply(UCBAdmissions, c(1, 3), sum)/apply(UCBAdmissions, 3, sum)
apply(UCBAdmissions, c(2, 3), sum)/apply(UCBAdmissions, 3, sum)
# meta-analysis using metafor
require(metafor)
meta.obj <- rma.mh(ai = UCBAdmissions[1, 1, ], bi = UCBAdmissions[1, 2, ], ci = UCBAdmissions[2, 1, ], 
	di = UCBAdmissions[2, 2, ], slab = letters[1:6])
meta.obj
plot(meta.obj)
#loglinear model
require(MASS) #built-in
fm.loglm <- glm(Freq~Dept*Admit*Gender, data=as.data.frame(as.table(UCBAdmissions)), family=poisson)
summary(fm.loglm) # Dept * Admit * Gender are significant in some cases

第三行:結果如此

        Admit
Gender   Admitted Rejected
  Male       1198     1493
  Female      557     1278

單看數字,看來柏大男生的取錄比率較高,有性別歧視之嫌。
如果計算 odds ratio ((例如用 fisher.test 這個 function)) ,可計出 odds ratio 高達 1.84 (95% CI 1.62 to 2.09) 。
但是,那 set data 是有分開不同 department 的 2x2 table 。若果每個 dept 都計一次 odds ratio 可得出以下結果(第七行):

        A         B         C         D         E         F 
0.3495628 0.8028124 1.1329004 0.9213798 1.2211852 0.8280944 

由此可見,各 department 的男女收生機會都有所不同,故此將各個部門的數據統合在一起 (pool) 來分析並不洽當。
至於為何統合分析後看上去有性別歧視的假像。那就可以看一些 descriptive statistics 。先看看各個部門的取錄比率,以及各部門的男女申請比例。(九、十行)
結果

          Dept
Admit              A         B         C         D         E          F
  Admitted 0.6441586 0.4030501 0.5513699 0.2883173 0.1601307 0.07876712
  Rejected 0.5675214 0.2714646 0.8347339 0.8940171 0.5517677 0.93557423

        Dept
Gender           A          B         C         D         E         F
  Male   0.8842444 0.61002179 0.5565068 0.4469453 0.2080610 0.6386986
  Female 0.1846154 0.03156566 0.8305322 0.6410256 0.4962121 0.4775910

從以上表可見,不論性別,部門 C, D, F 的取錄率很低。而同時女性亦較常去申請入讀 C, D, F 部門,故此得出以上假像。
問題是如何測試各個 strata (department) 的 odds ratio 是否一致。 ( homogeneity of odds ratio across strata ) ((用流行病學的語言,如果 pooled odds ratio 明顯與 stratum-specific odds ratios 不同。而 stratum-specific odds ratios 是 homogeneous 的話,那 stratum 那 variable 是 confounding factors 。))
這個問題最少可有兩個方法解決。第一是將問題轉為 meta-analysis ,用 meta-analysis 的 heterogeneity test (Tarone's Test for Heterogeneity)。

metafor

另一方法是轉為 loglinear model ,測試 admission * gender 的 association 是否與 admission 有關。