突然想寫三篇有關數學常識的文章。有了這些數學常識,日常生活會易過一點。其實大部份都不是數學,只是常識,只是一些與數字有關的常識。
外國在討論一個問題,叫做 Numerical illiteracy (數學盲)。數學盲會引致很多的問題,最簡單的問題是人會變得不夠精明,常常吃虧。我自問亦因此吃虧不少,故此要將這些失敗經驗寫下來,免得大家再犯我的同樣錯誤。
其實今次討論的話題之前已經寫過。不妨再加詳寫。
稅務季節,很多人會借錢交稅。我看到某銀行的廣告很有趣,同一個廣告宣傳兩個服務,一個是「定額借貸」,下面寫「實際年利率低至 2% 」;另一個是「循環透支」,下面寫「利率 * 低至 1% 」。 ((現時銀行資金氾濫,借貸服務競爭巨大。所以借款利率很低,數年前我曾經借錢,當時的實際年利率高達百分之十幾,現在只有百分之一二是很可怕地低的。可見現金有幾唔值錢。))
看上去好像「循環透支」的 1% 較吸引,因為 1% 比 2% 為低。但是利率的上角那粒星星,下面的細字是指為「每月平息 1% 」,另加手續費 300 元。
我們對「年利率」的了解,是這樣的:有人2010 年一月一日借了一百元給你,年利率是 2% ,在2011年十二月三十日清還,本金加利息就是 100 + (100*2%*2) = 104 ,利息四元。我記得這是小學四年班學的,後來在中一二學到這概念的英文名叫 Simple Interest (單利息)。
後來學了一樣東西叫 Compound Interest ,就是複利息。假設年利率是 2% ,你兩年之後清還,以複利息,本金加利息計算法是:

100 * (1+2%)^2 = 104.04 ,利息是四元四分。對比單利息,複利息會多四分。那四分就是「利疊利」。同一息口,複利息較單利息高,可以稱為複式效應。 ((不少鼓勵人投資的銷售員,都很喜歡講這個複式效應。就是投資本金獲得回報,回報及本金再作投資,所得回報就會更高。))
只要計算利息的周期愈多,利息就會更高。例如同樣年利率 2% ,每季都計一次息(即一年計息四次)。同樣的借貸計劃要還:

100 * (1+(2%/4))^(2*4) = 104.07 ,利息是四元七分。單單是因為計息多幾次,就多了三分的利息。

回到本文原來的問題。上述銀行的「循環透支」是否比「定額借貸」慳息呢?
其實「實際年利率」( APR/eAPR, [effective] annual percentage of rate )就像單利息的年利率。假設你借了 100 元,「實際年利率」是 2% ,兩年後清還就是還 104 元,那 4 元是包含了利息及任何行政費用。就是這樣簡單。
但是,其他沒有計算 APR 的借款計劃,可能是一個陷阱。以上述的「循環透支」計算,此 1% 利率甚至不是年利率,是月利率,代表借一個月就計 1% 的息。即是借 100 元,一個月後還已經要還 101 元。
要做一個精明的人,就要識得換算 APR 。
假設你同樣想借 100 元,每月平息 1% ,假設不收手續費。兩年之後要還

100 * (1+2%)^(2*12) = 160.8 ,利息是 60.8 。

如果將「循環透支」的息口轉成 APR ,就是

(60.8 / 100) / 2年 = 30.4%

與「定額借貸」的 APR 比較,那一個較高呢?
而實質上,計算 APR 是應該連手續費也計算在內,以用該銀行的「循環透支」借 10000 元為例,兩年之後是應該還

(10000 * (1+1%)^(2*12)) + 300 = 12997.3

APR 就是

(2997.3/10000) / 2 = 29.97%

現時一般信用卡都是用複息計算,有些聲稱年利率是 1x - 2x% 。但是,大部份的信用卡都是天天計息的,故此 APR 一般都高於 30% 。以匯豐的 ICAN 卡為例,購物的 APR 是31.86% 、現金透支是 33.07% 。現金透支比購物的 APR 為高,是因為現金透支的利息是即時計算,而購物通常是有一段免息還款期。
假設你以 ICAN 卡現金透支 10000 元,你一年之後一筆過還款,就是要還 13307 元。 ((據說香港信用卡的申請資格非常鬆,故此利率是比歐美為高,甚至高出近一倍。外國大學生及一般的打工仔幾乎都不合乎資格申請信用卡,只能申請扣賬卡( Debit Card )。扣賬卡是要預先將現金存入扣賬卡戶口,刷卡消費就由戶口扣取現金數額。故此,是銀行爭你錢,而不是你爭銀行錢。扣賬卡戶口亦有利息,而這種卡只是為了避免帶太多現金在身,以及簡化交易程序。這種卡在香港應該不會流行,因為已經有真金白銀交易的 EPS 服務。)) ((但我估計匯豐銀行計算信用卡的 APR ,是沒有計算 Late Charge 及超額罰款。故此,個數一定高於 13307 元。))