設 θ = 1 作為瑪莉有基因,而 θ = 0 為瑪莉沒有基因。那麼,在未知道瑪莉兩子的發病情況之前,瑪莉有基因和沒有基因的機會率為

Pr (θ = 1) = Pr (θ = 0) = 0.5 (i)

設 y1 及 y2 為瑪莉兩子的情況。如 θ = 1 , y1 及 y2 都等於 0 的機會率為

Pr (y1 = 0, y2 = 0 | θ = 1) = (0.5)(0.5) = 0.25 (ii)

如 θ = 0 , y1 及 y2 都等於 0 的機會率為

Pr (y1 = 0, y2 = 0 | θ = 0) = (1)(1) = 1 (iii)

我們想知道的是, Pr(θ=1|y1 = 0, y2 = 0) 這個就要用到 Bayes' rule :

Pr(A|B) = [Pr(B|A) * Pr(A)] / Pr(B)

即是

Pr(θ=1|y1 = 0, y2 = 0) = [Pr(y1 = 0, y2 = 0|θ=1) * Pr(θ=1)] / P (y1 = 0, y2 = 0)

分子較易,因為可以代入 (i) 及 (ii)

Pr(y1 = 0, y2 = 0|θ=1) * Pr(θ=1) = 0.25 * 0.5 = 0.125

分母的 Pr(y1 = 0, y2 = 0) 較難。兩個仔都無事的可能性,不外乎兩個

1. 如瑪莉有基因,而兩個仔無事 及 瑪莉真有基因

2. 如瑪莉無基因,而兩個仔無事 及 瑪莉真無基因

即:

Pr(y1 = 0, y2 = 0) = Pr(y1 = 0, y2 = 0 | θ=1) * Pr (θ=1) + Pr(y1 = 0, y2 = 0 | θ=0) * Pr (θ=0)

代入 (i) 、 (ii) 及 (iii) 即

Pr(y1 = 0, y2 = 0) = (0.25)*(0.5) + (1.0)(0.5) = 0.625

那麼

Pr(θ=1|y1 = 0, y2 = 0) = 0.125 / 0.625 = 0.2

取自: Gelman et al. Bayesian data analysis

Johnson Lau 答中。